Supongamos que $\sqrt{5}$ es un número racional, es decir, puede expresarse como el cociente de dos enteros $a$ y $b$ donde $b \neq 0$, y $a$ y $b$ no tienen factores comunes. Entonces, tenemos: $$\sqrt{5} = \frac{a}{b}$$ Elevemos ambos lados al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada: $$5 = \frac{a^2}{b^2}$$ Pasamos el $b^2$ multiplicando para el otro lado: $$5b^2 = a^2$$ Esto implica que $a^2$ es un múltiplo de 5. Ahora, observamos que si $a^2$ es un múltiplo de 5, entonces $a$ también debe ser un múltiplo de 5. Supongamos que $a = 5k$, donde $k$ es un entero. Sustituimos $a$ en la ecuación original: $$5b^2 = (5k)^2$$ $$5b^2 = 25k^2$$ Pasamos el $5$ dividiendo... $$b^2 = 5k^2$$ Esto implica que $b^2$ también es un múltiplo de 5, y por lo tanto, $b$ también debe ser un múltiplo de 5. Ups! Qué pasó acá? Llegamos a un absurdo! Tanto $a$ como $b$ son múltiplos de 5, lo cual contradice nuestra suposición inicial de que $a$ y $b$ no tienen factores comunes. Por lo tanto, nuestra suposición de que $\sqrt{5}$ es un número racional es incorrecta. Concluimos que $\sqrt{5}$ es un número irracional. Esta es una prueba clásica de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 5 =)